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除了实数还有什么数?

  • 除了实数还有什么数?
  • 2024-03-29 07:23:15
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简介除了实数,还有虚数,我来告诉你一些初步的虚数知识,这样可以强化你的记忆:虚数常用小写字母i来表示,我们规定i^2=-1,这样,i^3=i*i^2=-i,i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1,所以虚...

除了实数,除实还有虚数,数还数我来告诉你一些初步的除实虚数知识,这样可以强化你的数还数记忆:虚数常用小写字母i来表示,我们规定

除了实数还有什么数?

i^2=-1,除实这样,数还数i^3=i*i^2=-i,除实i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1,数还数所以虚数单位是除实具有周期性的,按照i的数还数从1次方开始升幂排列应该是i,i^2,i^3,i^4,i^5,i^6……,它的除实大小依次是i,-1,

-i,1,i,-1,-i,1,……重复下去~~~,所以一个周期的数还数数值为

i,-1,-i,1,还有一个两根的除实结果公式,我就不多说了,数还数到了高中,除实你就知道了,现在说多了反而你会弄混的,但愿这些东西能帮上你的忙~~~

什么样的数不是实数?

虚数类就不属于实数,比如凡是含有虚数符号i的数就不是实数范畴,如:i,2i等等。

在数学中,虚数就是形如a+b*i的数,其中a,b是实数,且b≠0,i? = - 1。虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。

后来发现虚数a+b*i的实部a可对应平面上的横轴,虚部b与对应平面上的纵轴,这样虚数a+b*i可与平面内的点(a,b)对应。

扩展资料:

虚数的来源:

1777年瑞士数学家欧拉(Euler,或译为欧勒)开始使用符号i表示虚数的单位。而后人将虚数和实数有机地结合起来,写成a+bi形式 (a、b为实数,a等于0时叫纯虚数,ab都不等于0时叫复数,b等于0时就是实数)。

而在工程运算中,为了不与其他符号(如电流的符号)相混淆,有时也用j或k等字母来表示虚数的单位。

通常,我们用符号C来表示复数集,用符号R来表示实数集。

什么数不属于实数

shíshù

(一)数学名词。不存在虚数部分的复数,有理数和无理数的总称。

(二)真实的数字。例公司到底还有多少钱?请你告诉我实数!

基本概念

实数包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括无限循环小数、有限小数、整数。

数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零三类。实数集合通常用字母 R 或 R^n 表示。而 R^n 表示 n 维实数空间。实数是不可数的。实数是实分析的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位,n 为正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数来表示。

①相反数(只有符号不同的两个数,我们就说其中一个是另一个的相反数) 实数a的相反数是-a

②绝对值(在数轴上一个数所对应的点与原点0的距离) 实数a的绝对值是:│a│=①a为正数时,|a|=a

②a为0时, |a|=0

③a为负数时,|a|=-a

③倒数 (两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数) 实数a的倒数是:1/a (a≠0)

历史来源

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数,据说中国也曾发明负数,但稍晚于印度。

直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受。18世纪,微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年,德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。

相关定义

从有理数构造实数

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的十进制或二进制展开如 { 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造。

公理的方法

设 R 是所有实数的集合,则:

集合 R 是一个域: 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等常见性质。

域 R 是个有序域,即存在全序关系 ≥ ,对所有实数 x, y 和 z:

若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0。

集合 R 满足戴德金完备性,即任意 R 的非空子集 S (S∈R,S≠Φ),若 S 在 R 内有上界,那么 S 在 R 内有上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于 2 的有理数的集合存在有理数上界,如 1.5;但是不存在有理数上确界(因为 √2 不是有理数)。

实数通过上述性质唯一确定。更准确的说,给定任意两个戴德金完备的有序域 R1 和 R2,存在从 R1 到 R2 的唯一的域同构,即代数学上两者可看作是相同的。

相关性质

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、平方等,对非负数还可以进行开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。

完备性

作为度量空间或一致空间,实数集合是个完备空间,它有以下性质:

所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列,但没有有理数极限。实际上,它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里德几何的直线没有“空隙”。

“完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释。

首先,有序域可以是完备格。然而,很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对任意元素 z,z + 1 将更大)。所以,这里的“完备”不是完备格的意思。

另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法,即从(有理数)有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而,有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。)当然,R 并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上,“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从(有理数)阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思。他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。这样 R 是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质

实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于自然数的个数(尽管两者都是无穷大)。这一点,可以通过康托尔对角线方法证明。实际上,实数集的势为 2ω(请参见连续统的势),即自然数集的幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是代数数,绝大多数实数是超越数。实数集的子集中,不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合,这就是连续统假设。该假设不能被证明是否正确,这是因为它和集合论的公理不相关。

所有非负实数的平方根属于 R,但这对负数不成立。这表明 R 上的序是由其代数结构确定的。而且,所有奇数次多项式至少有一个根属于 R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对代数基本定理的证明的前半部分。

实数集拥有一个规范的测度,即勒贝格测度。

实数集的上确界公理用到了实数集的子集,这是一种二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集:1. L?wenheim-Skolem定理说明,存在一个实数集的可数稠密子集,它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的命题;2. 超实数的集合远远大于 R,但也同样满足和 R 一样的一阶逻辑命题。满足和 R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为 R 的非标准模型。这就是非标准分析的研究内容,在非标准模型中证明一阶逻辑命题(可能比在 R 中证明要简单一些),从而确定这些命题在 R 中也成立。

拓扑性质

实数集构成一个度量空间:x 和 y 间的距离定为绝对值 |x - y|。作为一个全序集,它也具有序拓扑。这里,从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定,例如,无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览:

令 a 为一实数。a 的邻域是实数集中一个包括一段含有 a 的线段的子集。

R 是可分空间。

Q 在 R 中处处稠密。

R的开集是开区间的联集。

R的紧子集是有界闭集。特别是:所有含端点的有限线段都是紧子集。

每个R中的有界序列都有收敛子序列。

R是连通且单连通的。

R中的连通子集是线段、射线与R本身。由此性质可迅速导出中间值定理。

扩展与一般化

实数集可以在几种不同的方面进行扩展和一般化:

最自然的扩展可能就是复数了。复数集包含了所有多项式的根。但是,复数集不是一个有序域。

实数集扩展的有序域是超实数的集合,包含无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

有时候,形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集,构成扩展的实数轴。它是一个紧致空间,而不是一个域,但它保留了许多实数的性质。

希尔伯特空间的自伴随算子在许多方面一般化实数集:它们可以是有序的(尽管不一定全序)、完备的;它们所有的特征值都是实数;它们构成一个实结合代数。

非实数是什么数举例

比如说根号下面是负数的这种..就是虚数,

(1)[unreliable figure]∶虚假不实的数字(2)[imaginary number]∶复数中a+bi,b不等于零时叫虚数(3)[暂无英文]:汉语中不表明具体数量的词。

在数学里,将平方是负数的数定义为虚数,或者叫纯虚数。所有的虚数都是复数。这种数有一个专门的符号“i”(imaginary),它称为虚数单位。定义为i^2=1。但是虚数是没有算术根这一说的,所以√(-1)=±i。

不过在电子等行业中,因为i通常用来表示电流,所以虚数单位用j来表示。

虚数没有正负可言。不是实数的复数,即使是纯虚数,也不能比较大小。

我们可以在平面直角坐标系中画出虚数系统。如果利用横轴表示全体实数,那么纵轴即可表示虚数。整个平面上每一点对应着一个复数,称为复平面。横轴和纵轴也改称为实轴和虚轴。

“虚数”这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制,因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。后来发现虚数可对应平面上的纵轴,与对应平面上横轴的实数同样真实。

http://baike.baidu.com/view/1302.htm

有哪些数不是实数,举例出来

非实数就是虚数。

 平时在数学中用到最多的就是实数,但是在初中,解方程时,根难免会遇到根号里有负数,往往我们写原方程无实数根,而不是无解,而解就是非实数。

 负数开平方,在实数范围内无解。

 数学家们就把这种运算的结果叫做虚数(实和虚是反义词),因为这样的运算在实数范围内无法解释,所以叫虚数。

 实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数。

 于是,实数成为特殊的复数(缺虚数部分),虚数也成为特殊的复数(缺实数部分)。

 虚数单位为i,i即根号负1。(或i^2=-1)

非实数虚数  在数学里,将平方是负数的数定义为纯虚数。所有的虚数都是复数。定义为i^2=-1。但是虚数是没有算术根这一说的,所以±√(-1)=±i。对于z=a+bi,也可以表示为e的iA次方的形式,其中e是常数,i为虚数单位,A为虚数的幅角,即可表示为z=cosA+isinA。实数和虚数组成的一对数在复数范围内看成一个数,起名为复数。虚数没有正负可言。不是实数的复数,即使是纯虚数,也不能比较大小。